С.Л.Чернышев

МГТУ им. Н.Э.Баумана,

e-mail: chernshv@bmstu.ru                              

 

Разработка сверхширокополосных устройств фильтрации, деления мощности, согласования и др. затруднена отсутствием аналитических методов расчета конфигурации плавных нерегулярных линий с Т-волнами, на которых их реализуют. В связи с этим актуально решение задачи нахождения приближенных аналитических методов синтеза таких устройств, чему посвящена настоящая статья.

Функция местных отражений связана с частотной зависимостью функции преобразования через преобразование Фурье [1]:

,

Это кардинально улучшило возможность синтеза НЛП, однако связь самой функции преобразования   с коэффициентом отражения  носит неявный характер, так описывающие эту связь уравнения [1] имеют только численное решение. С учетом времени запаздывания  эти уравнения можно привести к следующему виду:

 

                                                .                                   (1)

              .       (2)

Как следует из этих выражений, связь между  и , и тем более, с  не очевидна.

Коэффициент отражения в произвольном сечении имеет следующий вид:

                                 .                 (3)

Подобное выражение  использовалось Фельдштейном А.Л.,  Ф.Болиндером и другими авторами при выводе уравнения типа Риккати, описывающего НЛП. Это уравнение было получено из (3) путем представления экспоненты линейной функцией и отбрасывания величин второго порядка малости. Преобразуем (3), используя гиперболические функции:

                             (4)

где .

Проведем замену z на τ, также, как это было проведено. Получаем:

                       

Оценим . В терминах τ можно записать

.

Это выражение разложим в степенной ряд, обозначив для упрощения записи :

                                 а)                                                                            б)

Рис.1 - а) зависимость  от , б) зависимость  .

На рис. 1 приведены графики зависимости  от  (в виде суммы величин первых четырех членов ряда) при  и зависимости .

Из анализа графиков видно, что по сравнению с величиной , являющейся вторым слагаемым в (4)  величина  является пренебрежимо малой в достаточно широком диапазоне величин . Так, для величин  величина  на два порядка меньше величины . С учетом сказанного для величин  можно считать справедливым выражение

                     .             

Это дает основание записать уравнение

,

 которое раскрывается далее с увеличением числа слагаемых, относящихся к разным поперечным сечениям НЛП, вплоть до конца. В результате получаем сумму:

.

Учитывая, что , осуществляя предельный переход (),  получаем окончательное выражение:

                          .           (5)

Это дает возможность, применяя обратное преобразование Фурье, найти связь между функцией местных отражений НЛП и частотной зависимостью коэффициента отражения:

                                         .                                (6)

Это выражение является основополагающим для синтеза НЛП «на отражение», то есть  по входному коэффициенту отражения .

            В случае необходимости синтеза НЛП по коэффициенту передачи, следует определить связь  с . Найдем такую связь с помощью уравнения (1).

Подставим в это выражение  из (5), в котором заменим  на τ :

                                               .                                (7)

Проведя дифференцирование, получаем:

.

Подставим полученное выражение в (7), получаем, что для  справедливо уравнение (знак правой части при взятии корня квадратного не играет роли, так как коэффициент передачи взаимной НЛП не зависит от направления передачи)

.

Применяя обратное преобразование Фурье, получаем:

                                        .                               (8)

Это выражение, в свою очередь, является основополагающим для синтеза НЛП «на проход»,  то есть по заданной зависимости  . Подчеркнем, что полученные выражения имеют достаточную для практики точность при  , а уточненную зависимость  следует находить из численного решения уравнений (1) и (2), для которого начальным приближением могут служить выражения (6) и (8).

            Выражения (6) и (8) позволяют осуществить аналитический синтез НЛП по заданной сверхширокополосной частотной зависимости  или , то есть определить функцию  местных отражений . Закон изменения волнового сопротивления сверхширокополосного устройства в результате определяется по этой функции:

.

            Выводы. Найденные приближенные аналитические выражения позволяют осуществить синтез сверхширокополосных устройств на плавной нерегулярной линии с Т-волнами по заданной частотной характеристике «на отражение» или «на проход» без применения численных методов с удовлетворительной для инженерных применений точностью.

Литература  

1. Мещанов В.П., Тупикин В.Д., Чернышев С.Л. Коаксиальные пассивные устройства.-Саратов, Изд-во СГУ, 1993.